西交《线性代数》拓展资源（八）

西交《线性代数》拓展资源（八）
化二次型为标准形方法之——雅可比方法
一、相关定义
双线性函数定义
V是数域P上一个线性空间，f(α,β)是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α、β，根据f都唯一
地对应于P中一个数f(α,β)。如果f(α,β)有下列性质：
f(α,

+
)=



其中
是V中任意向量，
是P中任意数，则称f(α,β)为V上的一个双线性函数。
例如：欧式空间V的内积是V上双线性函数。
对成双线性函数的定义
f(α,β) 线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α,β都有f（α，β）=f(β,α),则称f(α,β)为对称双线性函数。
度量矩阵定义
设f(α,β)是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数。
是V的一组基，则矩阵
叫做f(α,β)在
下的度量矩阵。
结论：双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。
二、化二次型为标准型的雅可比方法
设V是数域P上一个n维线性空间，取定V的一组基
，令α=

,β=
，
x=
,y=
，那么给定一个F上的n元二次型
（其中A是n阶对称矩阵），则由A可以定义一个V上对称双线性函数f(α,β)=
，其中
。反之亦然。在固定的基
下，二次型
和对称双线性函数f(α,β)=
是互相唯一确定的（都是由A确定的）。
这种方法的中心问题是：对在V的基
下游二次型
确定的对称双线性函数
f(α,β)=
，满足条件

=0，对i
j(i,j=1,2,…,n)
我们知道，设{
}是V的另一组基，而B=
=
是f(α,β)关于这个基的矩阵，又
设C=
是由基
到基
的过渡矩阵，即

=
，i=1,…,n
那么        B=
，               (1)
即一个双线性函数关于V的两个基的两个矩阵式合同的。
由于任一对称矩阵必能合同于对角矩阵。设可逆矩阵C使
成对角阵，
B=
,         (2)
再设C是基
到基
的过渡矩阵，由（1）式知，f(α,β)关于基
的矩阵是对角矩阵（2）式，即

=0，对i
j(i,j=1,2,…,n)
这表明，对于每一个对称双线性函数f(α,β)，都存在一个适当的基
，使它可以写成如下形式
f(α,β)=
=
,
其中
，从而它所确定的二次型
可以写成标准形

=

且二次型
化为
所作的非退化线性替换为x=Cz，其中C是由基
到基
的过渡矩阵，它使
=B。
于是，化二次型
为标准形的问题就可以归结为上述关于对称双线性函数的“中心问题”，为此，需要寻找满足条件（2）得V的一个基
。
在
中，从一个基
出发，利用施密特正交化方法，可以构造一个与之等价的正交基
。该方法的实质就是设


然后用待定系数法求使得
=0（其中 i
j，i,j=1,2,…,n）的系数
。
为此我们先解决下问题：
1）设V是数域P上一个n维线性空间，f(α,β)=
使V上对称双线性函数，其中
是V的一组基，α=

,β=
，
x=
,y=
,
A是n阶对称矩阵，那么从基{
}出发，是否能构造如下形式的基
：


使得         
=0，对i
j(i,j=1,2,…,n)
解：将
代入
得

=

=
，
所以，若对任意的i及j<i有
=0，则对j<i，也有

=0，
又因双线性函数f(α,β)是对称的，则对j>i，有

=
=0，
即
是所求的基。于是，问题归结为求待定系数
使向量
                  （3）
满足条件         
=
=0，j=1,2,…,i-1            （4）
显然，若
满足
=0，则
的数量倍
也满足

=0，
故为了确定
，我们再要求
满足条件

=
=1。                   （5）
这样，
可以利用条件（4）（5）唯一确定了，将（3）式代入（4)和（5），得到关于
的线性方程组

          （6）
这方程组的系数行列式为

。
因此，当

0时，方程组（6）由唯一解，从而可求得向量
。于是，当A=
=
的顺
序主子式
=
，
=
，
=

都不等于0时，可以由方程组（6）求出向量
，i=1，2，…，n
2）由1）可知，在

0，i=1，2，…，n的情形下，由方程组（6）可求出上三角矩阵
C=
=
,
从而由（3）式求得
，i=1，2，…，n，它们满足

=
=0，对i
j，i,j=1,2,…,n
使得双线性函数f(α,β)关于基
的矩阵为
B=
=
,
是对角矩阵，由此可见，二次型
可经非退化线性替换x=Cz，化成标准形

=

其中x=
,z=
.
下面计算
=
i=1，2，…，n，由（3）（4）（5）可得

=
=

=
=

再由克拉默法则，由方程组（6）可解得

=
（其中令
=1）。
因此，
=
，i=1，2，…，n
综上所述，我们可得以下结论：
设二次型
（其中
=
）中，顺序主子式
，
，…,
都不等于零，则该二次型必可化为下面的标准形：


其中
=1。这个化二次型为标准形的方法称为雅可比方法。
三、典型例题：
用雅可比方法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。

=

解：由于矩阵A=
,它的顺序主子式
=2，
=
，
=
都不等于零，故可用雅可
比方法。
设
，
，
，双线性函数f(α,β)关于基
，
，
的矩阵为A,则
A=
=

设

系数
可由条件
=1求出，即
=2
=1
故
=
，故有
=
系数
可由方程组
求出，
得
，故
=

系数
可由方程组
求出，得
，故

由此可得，由基
，
，
到
的过渡矩阵为C=

因此
经线性替换X=CZ化成标准型
=

四、雅可比方法在判定二次型的正定性问题上的应用
1）实二次型
=
是正定的充要条件是：矩阵A的顺序主子式
，
，…,
全大于零；
2）实二次型
=
是负定的充要条件是：

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