西交《线性代数》拓展资源（二）

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计算n阶行列式的若干方法举例
n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
利用行列式定义直接计算
例1  计算行列式


解  Dn中不为零的项用一般形式表示为

.
该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于
，故


利用行列式的性质计算
例2  一个n阶行列式
的元素满足


则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.
证明：由
知
，即


故行列式Dn可表示为


由行列式的性质



      

     

当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0.
化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3  计算n阶行列式


解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加
到第1列上，行列式不变，得


      

   

   

降阶法
降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
例4  计算n阶行列式


解  将Dn按第1行展开

      

      
.
逆推公式法
逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1, Dn－2之间的一种关系——称为逆推公式（其中Dn, Dn－1, Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。
例5  证明


      

证明：将Dn按第1列展开得


      

      

    由此得递推公式：
，利用此递推公式可得


      

      

利用范德蒙行列式
例6  计算行列式


解  把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1
行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式
   

加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
例7  计算n阶行列式


解：            

   
（箭形行列式）
   


                                 
数学归纳法
例8  计算n阶行列式


解：用数学归纳法. 当n = 2时


                                 
假设n = k时，有


则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得






由此，对任意的正整数n，有


拆开法
把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两个行列式之和，使问题简化以利计算。
例9  计算行列式  


解：



  


  

      ……


上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。本内容由易百网整理发布
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