西交《线性代数》faq（八）

西交《线性代数》FAQ（八）
实二次型
一、用满秩线性变换将二次型
化为标准形时，标准形是否唯一？
答：将一个实二次型
化为标准形的方法不是唯一的（如有正交变换法、配方法），采用不同方法所化成的标准形就可能不相同，即使采用同一方法，由于变换的方式不同，所得到的标准形也可能不相同
例如

令
，得

令
，得

二、对于二次型
假设把任意
代入二次齐次式
都使
，
是否是正定的？
答：不一定。例如


对任意
有
，但对
有

，不符合正定定义。
三、已知
均为
阶正定矩阵，
是否也是正定矩阵？为什么？
答：
是正定矩阵，
及
都不一定是正定矩阵。
因为
,即
是实对称矩阵，且对任意
，有

，故
是正定矩阵。
又
,即
也是实对称矩阵，但对任意
，有

，两个整数相减，不一定是正的，故
不一定是正定矩阵。
因为
,且
不一定成立，所以
不一定是实对称矩阵，从而
不一定是正定矩阵。
四、若实二次型
的规范形为
，则该二次型的矩阵的特征值是否必为0和1？
答：不是。这说明该二次型的正惯性指数为1，亦即有一个正特征值，但具体数值无法确定，它可能是任意正实数，例如
，则f得规范形为
，但其特征值为0和2.
五、任意两个n阶的正定矩阵是否合同？
答：合同。因为这两个n阶正定矩阵的正惯性指数都是n，而负惯性指数都是0，所以它们必须合同。
六、若A为正定矩阵，问A和A-1是否一定相似？是否一定合同？
答：由于实对称矩阵A为正定的充分必要条件是特征值全为正数。而A-1的特征值是A的特征值的倒数，两者不一定相等，所以A和A-1不一定相似。另一方面，A-1的特征值必定也是正数，A-1也是正定矩阵，所以A和A-1一定合同。
七、典型例题
例1 设二次型
            


写出此二次型对应的矩阵
；写出此二次型的矩阵表达式。
解  显然,
,
,
,
,
,
.
于是得
.




例2   化二次型
为标准形，并求出所用的满秩线性变换。
解：令
，即
，则


                 

                 

其中
，即



故所求满秩线性变换为


因此
即为所求。
例3  用配方法化二次型
              

为标准形,并写出所作的可逆线性变换.
    解 因为标准形是平方和的形式,所以需要用配方法把变量:
逐个地配成完全平方和的形式.
      

                 

                 


                 

                 
.
令              
                                                                                ①
则
.由①得所作的线性变换是：

.
因为
，所以所作的线性变换是可逆的.
    注 若二次型含有某变量的平方，先集中含此变量的乘积项,然后配方；再对剩下的
个变量同样进行,依此类推下去化成平方项后，再经过非退化(或称可逆)线性变换就得到标准形.
    例4  用配方法化二次型
              

为标准形,并写出所作的可逆线性变换.
    解 此二次型中没有平方项,为了能够进行配方首先要变成有平方项,为此,可作变换
                    
                                                                ①
则
      

               

               

               
.
令
            
                                   ②
    为了写出所作的线性变换,先从②反解出
,得
            
                                   ②′
    把②′代入①,得
            
                                    ③
    把③代入原题,得
.
③就是所作的线性变换,因为
               

所以线性变换③是可逆的.
例5  用正交变换将实二次型化为标准形,并且写出所作的正交变换:
         
.
    解  
的矩阵是
                     
.
矩阵
的特征多项式为
      
,
所以,
的特征值是
(二重)与
.
    对于
,解齐次线性方程组
            
,
求得它的一个基础解系为
            
,   
.
先正交化:
      
,
      
.
再单位化:
      
,   
.
    对于
,解齐次线性方程组
              
,
求得它的一个基础解系为
.
再单位化得:
.
令
,则
是正交矩阵,而且
.
于是令
,即
            
.
得
.
例6   判断下列二次型的正定性：
（1）

（2）

解：（1）由于
的表达式中只含有二次项，所以对于任意一个非零向量
总有

。根据定义可得
为正定二次型。
（2）对
，先写出二次型的矩阵
，再求
的特征值。由
得正定性退出
的
正定性。二次型f的矩阵为




令
，得
的特征值为


的特征值均为正

正定
二次型
正定。
例7  用不同的方法判别
                  

是否正定.
    解法1：惯性指数法
   
为下列二次型的矩阵
         

                    

                    
.
令
                  
.
则得标准形
           
.
由上述线性方程组可得,由
到
的线性替换为
                    
.
    显然它是可逆线性替换.于是由标准形可知,
,
为正定二次型,其矩阵
正定.
    解法2：顺序主子式法

的各阶顺序主子式为
        
,   
,   

所以
正定.
    解法3：特征值法
   
的特征多项式
            

.
特征值
,
均为正数,所以
正定.
    注：判断二次型是否正定,要灵活应用所学的方法,当有可能用顺序主子式时,可采用它,此法一般比较简单.当二次型
的矩阵
的特征值容易求时,这时用此法较好.还可用配方法将二次型化为标准形来判定.
例8   设二次型
,问
取何值时,
为正定二次型?
    解  用顺序主子式讨论.
因为
           
,
则
           
,            
,
           
.
解不等式组
         
,
得
.
例9   设
为
阶实对称矩阵，且
，证明：
为正定矩阵
证：设
是
的特征值，只要证明
即可。因为
是
的特征值，所以



为其对应的特征向量。
由题设
，两边乘以
，有


因为
，所以
即
，由此可知
为

的特征值，且全大于零，所以
为正定矩阵。
例10  设
是
阶正定阵,
是
阶单位阵,证明:
的行列式大于1.
证  设
的特征值为
,则
的特征值为


.
因
是正定阵,所以
,所以
的特征值
,于是
     
.
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