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西交《线性代数》FAQ(二)
矩阵
一、什么样的两个矩阵相等啊?模样不一样但对应方程的解是一样的,两个矩阵相等吗?
答:两个矩阵必须是完全一样的,对应位置上的元素完全相同才称为相等。所以模样不一样的矩阵一定不一样。而且大家知道如果两个矩阵对应的行列式值相等,这两个矩阵也不相等。
二、判断:两个同阶单位矩阵的和、差、乘积仍是单位矩阵
答:这句话是错误的 ,例如单位矩阵对角线元素必须是1,两个单位矩阵的和对角线元素是2,差
的对角线元素是0,所以肯定是不对的。
三、设A是一个m×n矩阵

经过一系列行初等变化可以把A化成阶梯形矩阵,对吗?
    答:是的,任何矩阵都可以通过初等行(列)变换变成阶梯型矩阵。
四、A和B都是n阶矩阵,若AB可逆,则A和B都可逆.如何证明?
答:若AB可逆,则|AB|不等于0,|AB|=|A||B|,从而得出|A|和|B|都不等于0,所以A,B都可逆。
五、证明:秩数为r 的矩阵可表示成r 个指数为1的矩阵之和。
提示:任意一个秩数为r 的矩阵都可以通过初等变换使得其与一个初等矩阵等价,这个初等矩阵是
对角线元素为r个1和n-r个0,其余元素全为0的一个矩阵,这个矩阵就可以表示成r个秩数为1的矩阵之和。
六、B是方阵,那么 AA-BB=(A+B)(A-B)吗?
    答:不等于,一般矩阵相乘交换律不成立。即一般来说,AB≠BA,所以上式不成立。其实矩阵乘法
运算也不满足消去律,AC=BC,C≠0,不能得出A=B。
七、典型例题
例1 设,,求 。
解: ,因此有
, 。
例2 设 ,求 。
解:
 , 
故 ,但 ;又 ,所以 。
例3 设 是两个方阵,满足 。证明: 当且仅当 。
证明:若 ,则有 ,
即 ,从而有 。反之,若 ,则有
。
例4 设 ,求 。
解:
 ,从而
,
例5 设 是一个 阶实对称矩阵(即 中元素都为实数),满足 ,证明 。
证明:设 ,则,由知,,考虑主对角线上的元素:, , ,,由 知,这些主对角元都为 ,又因为 为实数, ,故 ,因此 。
例6 设 是两个同阶(反)对称矩阵,证明: 是对称矩阵的充分必要条件是 与 交换。
证明:因为 ,因此是对称矩阵的充要条件是 ,即 与 交换。
例7 单位矩阵 是可逆矩阵,且 。
例8 零矩阵不是可逆矩阵,因为对任意矩阵,有
例9 设 ,则可逆的充分必要条件是:。且若 可逆,则
。
证明:由 ,故 可逆的充分必要条件是: 。本内容由易百网整理发布
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