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西交《线性代数》FAQ(三)
方阵、逆方阵
一、设,问:与的关系如何?
答:;;
 因为,,
又,所以。
二、如果的元素都是整数,且或,则的元素也是整数。为什么?
答:因为,所以可逆,又的元素是整数,的伴随矩阵的元素也是整数,而

故的元素也是整数。
三、设为单位矩阵,是与矩阵同阶的方阵。试说明:若,则等式
中哪些总是成立?哪些不成立?
答:由等式可得或,由此可知都是可逆的,即存在。
在等式两边分别左乘、右乘,可得,即。类似的,在等式两边分别左乘、右乘,可得,即。而其它等式不成立。
四、求逆矩阵的方法有哪些?
(1)伴随矩阵法     (2)初等变换法     (3)利用定义求
五、典型例题
例1  求下列矩阵的逆矩阵
(1)  (2)
解:对于(1)利用公式计算
,
所以
(2)也可用伴随矩阵方法求,我们用第2种方法初等变换法求解

,故
例2  设是阶方阵,,求
解:因为,故有,于是可得
,所以可逆,且。
例3  分块对角矩阵的逆矩阵:若,其中都是方阵,则称为分块对角矩阵。分块对角矩阵的行列式。
若则。
若,其中都是方阵,且,则。
例4 
解:例4 
证明:
所以可逆,且

所以可逆,
例5  设方阵B为幂等矩阵(即对正整数k, ),证明:A是可逆矩阵,且
证明: 


例6  用克莱姆法则解方程组
.
解: 
线性方程组有解,

 
      
   
例7  
解:    .
例8  问为何值时,齐次线性方程组有非零解.
解:,
由齐次线性方程组有非零解的充要条件为系数行列式得

故当或或时,齐次线性方程组有非零解.
例9   有非零解?
解 时,方程组有非零解.本内容由易百网整理发布
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