西交《线性代数》faq（一）

西交《线性代数》FAQ（一）
行列式
一、A是四阶或以上行列式怎样计算?
一般通过初等变换的方法将行列式划成上三角矩阵或下三角矩阵等阶梯形矩阵，这样可以很容易计算出行列式的值。
二、|KA|=K|A|吗？
不对，如果行列式是n阶的，右边等式应该是K的n次方。
三、在一个矩阵上添加两行活两列后，所得到的矩阵的秩有法确定吗？
如果仅是添加两列（两行），秩是不变的。
四、如何计算一个行列式的数余子式？
例：设
，则
的余子式是（    ）
    （A）是M      （B）是N       （C）是M和N      （D）不是M和N
解：本题主要是考查行列式的数余子式的概念。
设有
阶行列式


元素
为的余子式
，它是由
划去第
行和第
列后余下元素构成的
阶行列式，即


因为
的余子式为
，所以A正确。
行列式的计算方法有哪些？
行列式的几种最基本方法：
1、化三角形法
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式
的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列
式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列
式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。? ? ?
2、按行（列）展开法（降阶法）
按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般
情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能
发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。
3、还有递推法，利用初等变换法（与方法1类似）
六、典型例题
例1 　解方程组?

解：这个方程组的系数行列式为


因此这个方程组有唯一解。
　又由
，
，

得到方程组的解为：

例2 　计算
阶下三角行列式
。
解：




　??? 　
。
　　类似可得
阶上三角行列式
。


例3 　证明：行列式?

证明：由行列式
的展开式中，每一项都是不同行不同列的5个元素的乘积，但是容易观察出，任意5个不同行不同列的元素中至少有一个为零，从而
的展开式中每一项都为零，故
。
例4　计算行列式
。
解：原式

例5 解线性方程组

　　　　　　　　　

解：方程组的系数行列式：
　　　　　　　　

　　所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因
　

　

　

　　所以这个线性方程组的唯一解为：

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