快捷导航
帮助中心知识拓展客服QQ 515224986
扫码加微信
兰大《高等数学1》在线考试考前辅导资料
一、考试复习所用教材
《高等数学》(上册),同济大学应用数学系,高等教育出版社 .
二、考试题型介绍
1、单项选择题(每题4分,共10个小题,40分)
2、判断题题(每题2分,共10个小题,20分)
3、计算题(每题10分,共2个小题,20分)
4、综合题(每题20分,共1个小题,20分)
三、考试相关概念、知识点、复习题、例题归纳
第一章 函数与极限
1. 函数定义、函数相关性质
1.1函数的定义:如果在某变化过程中有两个变量x,y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则,y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数。
注意:求函数定义域、值域、两函数是否为同一函数要求会。
1.2函数的性质:需要掌握函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、函数连续性、复合函数的定义和判断、有界性及其判定方法等。
1.3反函数的求法。
1.4例题
例1.h(x)是奇函数, s(x)是偶函数判断下列函数的奇偶性:h[h(x)]; s[s(x)]; h[s(x)]; h(x)+s(x)
解:h[h(-x)]=h[-h(x)]=-h[h(x)],所以h[h(x)]是奇函数;
s[s(-x)]=s[s(x)],所以s[s(x)]是偶函数;
h[s(-x)]=h[s(x)], 所以h[s(x)]是偶函数;
h[x]+s[x]是非奇非偶函数;
例2.判断函数  的奇偶性.答案:奇函数
解: ,所以是奇函数。
例3.判断函数 的奇偶性.答案:偶函数
解:因为  ,所以是偶函数。
例4.判断函数ln(√(x^2+1)+x)的奇偶性.
解:ln(√((-x)^2+1)+(-x))=-ln(1/(√(x^2+1)-x))=-ln(1/(√(x^2+1)-x))=-ln(√(x^2+1)+x)
所以是奇函数。
例5.已知f(x)=x^3-2,h(x)=3/x,那么h(f(x))=________.
解:h(f(x))=h(x^3-2)=3/(x^3-2)(复合函数知识点)
例6.下面关于连续函数说法错误的是( A  )  
A.连续函数可能有原函数
B.初等函数在其定义域必连续区间内必连续
C.若函数f(x)在x_0处可导,则函数f(x)在x_0处连续
解:连续函数一定有原函数;
例7.(函数定义域)若函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为_________.
解: ,那么 ,所以定义域为
例8.(反函数求法)求 的反函数是_________.
解:移项有 ,也就是 ,所以反函数是
例9.(反函数求法) 的反函数是_________.
解: ,则
2.极限
2.1函数和数列极限的概念(数列收敛的相关性质)。
2.2极限性质:有界性,保号性等。
2.3洛必达法则,两个重要极限( ,求极限时学会变换成两个重要极限的形式来求极限),极限的求法( 型, , 型等极限求法),无穷大(小)概念和应用。
等价无穷小:如果 就说 和 是等价无穷小;
同阶无穷小:如果 就说 和 是同阶无穷小;
低阶无穷小:如果 就说 是比 低阶的无穷小;
高阶无穷小:如果 就说 是比 高阶的无穷小。
(注意: 和 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小,且 )
2.4例题
例1.求下列函数的极限:
lim┬(x→2)⁡〖sin 1/(x-2)〗;
lim┬(x→∞)⁡〖4^x 〗;
lim┬(x→∞)⁡〖(x^5+1)/(4x^5-1)〗;
解:
lim┬(x→2)⁡〖sin 1/(x-2)〗,lim┬(x→∞)⁡〖4^x 〗 极限不存在;
lim┬(x→∞)⁡〖(x^5+1)/(4x^5-1)〗=lim┬(x→∞)⁡〖(1+1/x^5 )/(4-1/x^5 )〗==1/4
例2.当 时,变量 是(   D  ).
无穷小
无穷大
有界的,但不是无穷小
无界的,但不是无穷大
解:当 时, 是无穷大,但是 只是有界函数,且没有极限。所以 不能简单判定是无穷大还是无穷小,有界还是无界。所以我们取特殊数列 ,让这个数列的极限为0,而 的值容易算出来,由此来判断有界还是无界,无穷小还是无穷大。
取 ,则 且
此时: 是无界的
再取 ,则 且 ,因此不符合无穷大的定义
所以 是无界的,但不是无穷大
例3.下列说法正确的是(  A )
A.数列  收敛于a的充分必要条件是它的任一子数列都收敛于a
B.数列  收敛的充分必要条件是数列 收敛
解:首先,若数列  收敛于a,那么很容易得到其任一子数列收敛于a;
其次若任一子数列收敛于a,那么 本身也是其一个子数列,那么数列  收敛于a。
例4.求极限
解:

 例5.求极限
   
解:

例3.求 .
解:
函数的连续性,极限
3.1函数的连续性的定义:f(x)在x=0处连续,必须有:
3.2例题
例1.已知  的导数在  处连续,若 ,则( B ).
A. 是极小值点
B. 是极大值点
解:由于 ,当  时, ,
因此:当  时, ,
,假设 (c为常数,但c不等于0,且c可以为无穷大)
则有: ,
因此,只有当 ,才有可能是 ;
且  的导数在  处连续,所以 ;
由导数定义有: ,所以函数是凸函数,所以函数在x=a处取极大值
例2.(函数连续性)求函数 的连续性.
解:已知多项式函数是连续函数,所以 在 连续,在x=1处, .
.
所以 ,从而函数 在x=1处是连续的.
综上函数 在 上是连续函数.
例3.设 问b为何值时 存在,并求此极限值.
解:对于分段函数分段点处的极限,由于解析式不同,一般先求左极限和右极限.
   
   
   为了使 存在,必须使 ,所以b=0,
   因此,b=0时 存在,且
第二章 导数和微分
导数的定义,几何意义及导数应用和求解(切线就是求导数),隐函数求导,n阶导数等,复合函数求导数。
f(x)在 处可导的充分必要条件是:左导数和右导数存在且相等。
例题
已知y=√(2-x^3 ),求f^, (1)=_________.
解:(复合函数求导)y^,=〖(〖(2-x^3)〗^(1/2))〗^,=1/2∙1/√(2-x^3 )∙(-3x^2)=-3/2
例2.已知f(x)=x^2 sinx,求f^,(π/2)=_________.
解:(复合函数求导)f^,(x)=2xsinx+x^2 cosx;所以f^,(π/2)=2∙π/2∙sin π/2+〖π/2〗^2 cos π/2=π+0=π
例3.曲线 上点(1,1)处的切线方程为_________.
解:曲线在(1,1)点处的斜率是2.
所以切线方程:
例4.下列说法错误的是(  A B C ). (多选题)
如果 ,则
如果 ,则
.如果 ,则
解:例  ,则 ,但是 ,所以A错
  例  , ,所以C错
例5.设函数  在  处的导数不存在,则曲线  (  B  ).
A.在点  处的切线不存在
B.在点  处的切线可能存在
C.在点  处不连续
解:导数相当于就是切线的斜率,导数不存在,切线的斜率不存在,但是不表示切线不存在,有可能切线是竖直线。比如 ,  不存在,但是 在  处有切线y轴;
对于C选项:例如  ,在 处是连续的,但是在0处左极限和右极限不相等,所以不可导。
例6.求方程 所确定的隐函数y的二阶导数
解:方程两边求导数得

第三章  微分中值定理与导数的应用
1.掌握洛必达法则。
2.曲率的计算。
3.微分中值定理(罗尔定理,柯西定理,拉格朗日定理)
罗尔中值定理,描述如下:
如果函数f(x)满足以下条件:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一个ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0。
拉格朗日中值定理,描述如下:拉格朗日中值定理又称拉氏定理,是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形;
如果函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈(a,b),使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
(零点定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与 f(b)异号(即f(a)× f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点ξ(a<ξ<b)使f(ξ)=0。)
4.例题
例1.求抛物线  在其顶点处的曲率及曲率半径.
解:
  
令  ,得顶点的横坐标为x=3,
  
所求曲率为
  .曲率半径为:      
例2.设 ,证明: .(拉格朗日中值定理)
证明:设f(x)=lnx,则f(x)在区间[b,a]上连续,在区间(b,a)内可导,由拉格朗日中值定理,存在 ,使: 即
因为 所以


第四章 不定积分
1.理解不定积分的概念,原函数和不定积分的关系,会计算不定积分(注意:需要记住且熟练应用课本中的基本积分公式)。
2.掌握分部积分法与换元积分法,有理函数的不定积分求法等。
分部积分:

3.例题
例1.(不定积分)求不定积分 
解:
         
例2.(分部积分)

例3.求不定积分
     
解:
 

定积分及其应用
掌握定积分的概念和性质,不定积分与定积分的联系,会计算定积分(换元积分法、分部积分法、牛顿莱布尼兹公式)。
例题
例1.已知函数 在 上连续,同时 ,则在 上当 时,以下哪个一定成立?A
A.
B.
C.
D.不确定
例2.计算∫_(-1/2)^(1/2)▒〖dx/√(1-x^2 )=〗_________.
解:∫_(-1/2)^(1/2)▒〖dx/√(1-x^2 )=〗 〖arcsinx|〗_(-1/2)^(1/2)=π/6-(-π/6)=π/3
例3.(定积分) _________.
解:
例4.  
解:
微分方程
掌握微分方程的定义,了解常系数线性微分方程的特征方程的概念并会解,会求常系数线性齐次微分方程通解和特解。
例题
例1.求微分方程 满足初始条件 的特解。
解:特征方程 的跟为 ,所以对应的齐次方程的通解为 ;
由于0是特征方程的单根,所以可以设特解 ,由于 , ;代入原方程 可得 ;
所以原方程的通解为:
代入初始条件可得: ,所以 ,
所以原方程满足初始条件的特解为
例2.(特征方程) 的特征方程是:
例3.求微分方程:
满足初始条件 的特解。
解:该题属于 类型,令
属于缺x的类型 ,令 ,
所以原方程化为 得 ,p=0不满足初始条件 ,所以舍弃。
由 ,按分离变量法得: ,由初始条件求: ,
于是得: 解之得: 将 代入,得 ,所以应取+号,且

注:可分离变量的微分方程要熟练掌握;比如原方程为 ,分离变量得:
,两端积分得: 即为原方程通解。
例4.假设  是微分方程  的一个解,求此微分方程满足
  的特解。
解:将 代入原方程:

将p(x)代入微分方程,可得  化为标准形式:

因为一阶微分方程  的通解通解公式为:
  
所以原方程通解为:

由 ,得:  
所以所求特解为:  
        第十二章 无穷级数
1.会求幂级数的收敛区间。
例1.求幂级数  的收敛区间。
解:  ,故收敛半径是3,收敛区间是  
二次曲面的方程和性质要掌握
椭球面,双曲面,抛物面,椭圆锥面的标准方程形式和性质。
例如:  (其中p,q同号)是椭圆抛物面;  是二次锥面等。
总结:
以上知识点和相关例题需要熟练掌握并学会举一反三,其中微分方程经常在计算题和综合题中出现,应该熟练掌握。

奥鹏易百网www.openhelp100.com专业提供网络教育各高校作业资源。

共 0 个关于本帖的回复 最后回复于 2020-8-23 17:33

您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册

本版积分规则

精彩推荐

    明星用户

    QQ|Archiver|手机版|小黑屋|www.openhelp100.com ( 冀ICP备19026749号-1 )

    GMT+8, 2024-3-29 19:06