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《高等数学(二)》期末复习题
一、选择题
1、若向量 与向量 平行,且满足 ,则 (      )
   (A)                    (B)   
(C)                   (D) .
2、在空间直角坐标系中,方程组 代表的图形为  (       )
(A)直线       (B)  抛物线      (C) 圆        (D)圆柱面   
3、设 ,其中区域 由 所围成,则 (        )
 (A)           (B)  
  (C)          (D)  
4、 设 ,则  (        )
   (A)9       (B) 6      (C)3        (D)   
5、级数   的敛散性为 (        )
(A) 发散      (B) 条件收敛     (C) 绝对收敛       (D)  敛散性不确定
6、二重积分定义式 中的 代表的是(   )
 (A)小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对
7、设 为连续函数,则二次积分 等于   (      )
(A)              (B)  
(C)           (D)   
8、方程 表示的二次曲面是    (        )
(A)抛物面     (B)柱面    (C)圆锥面      (D) 椭球面         
9、二元函数 在点 可微是其在该点偏导数存在的(     ).
(A) 必要条件    (B) 充分条件    (C) 充要条件    (D) 无关条件
10、设平面曲线L为下半圆周  则曲线积分 (       )
(A)                (B)             (C)                (D)   
11、若级数 收敛,则下列结论错误的是  (      )
(A) 收敛  (B)  收敛   (C) 收敛    (D)   收敛
12、二重积分 的值与      (     )
   (A)函数f及变量x,y有关;       (B) 区域D及变量x,y无关;
   (C)函数f及区域D有关;        (D) 函数f无关,区域D有关。
13、已知 且  则x = (       )      
(A) -2           (B) 2       (C) -3          (D)3
14、在空间直角坐标系中,方程组 代表的图形为(      )
   (A)抛物线      (B)  双曲线    (C)圆       (D)   直线
15、设 ,则 = (   )
(A)     (B)     (C)      (D)
16、二重积分 交换积分次序为 (      )
(A)              (B)   
(C)                (D)   
17、若已知级数 收敛, 是它的前 项之和,则此级数的和是(      )
(A)          (B)        (C)            (D)  
18、设 为圆周: ,则曲线积分 的值为(      )
   (A)       (B) 2      (C)          (D)   
19、 设直线方程为  ,则该直线必 (      )
(A) 过原点且 轴                      (B)过原点且 轴
   (C) 过原点且 轴                      (D)过原点且 轴
20、平面 与直线 的交点坐标为(     )
(A)(1,1,2)       (B)(2,3,4)    (C)(1,2,2)   (D)(2,1,1)
21、考虑二元函数的下面4条性质:
①  在点 处连续;   ② 在点 处的两个偏导数连续;
③ 在点 处可微;    ④ 在点 处的两个偏导数存在.
若用“ ”表示可由性质 推出性质 ,则有    (       )
(A)② ③ ①    (B) ③  ② ①   (C)  ③ ④ ①    (D) ③ ① ④
22、下列级数中绝对收敛的级数是(      )
(A)       (B)     (C)    (D)
23、设 ,则 =(       )
(A)     (B)     (C)      (D)
24、设a为常数,则级数     (        )
(A) 发散   (B) 条件收敛    (C)  绝对收敛      (D)  收敛性与a的取值有关
25、设常数 ,则级数  (     )
(A) 发散       (B)条件收敛    (C)绝对收敛    (D)敛散性与 的取值有关
26、   (        )           
(A)        (B)     (C)     (D)
二、填空题
1、              
2、二元函数  ,则                                
3、积分 的值为                     
4、若  为互相垂直的单位向量, 则               
5、交换积分次序                       
6、级数 的和是            
7、                  
8、二元函数  ,则                 
9、设 连续,交换积分次序                        
10、设曲线L:  ,则               
11、若级数 收敛,则              
12、若 则                  
13、                 
14、已知 且  则x =           
15、设 则                  
16、设 连续,交换积分次序                 
17、级数 ,则级数 的和是                 
18、设 为圆周: ,则曲线积分 的值为            
19、                 
20、已知 , 则                                   
21、               
22、已知向量 、 满足 , ,则           
23、设 为连接 与 两点的直线段,则            
24、                  
25、 , , 与 的夹角是 ,则               
26、已知三角形的顶点                  
27、点  到点 的距离                     
28、若 则            
29、                  
30、函数 求                  
三、解答题
1、(本题满分12分)求曲面 在点 处的切平面方程。
2、(本题满分12分)计算二重积分 ,其中 由 轴及开口向右的抛物线
和直线 围成的平面区域。
3、(本题满分12分)求函数 的全微分 。
4、(本题满分12分)证明:函数 在点(0,0)的两个偏导数存在,但函数 在点(0,0)处不连续。
5、(本题满分10分)用比较法判别级数 的敛散性。
6、(本题满分12分)求球面 在点 处的法线方程。   
7、(本题满分12分)计算 ,其中 。
8、(本题满分12分)力 的作用下,质点从 点沿   移至
点,求力  所做的功 。
9、(本题满分12分)计算函数 的全微分。
10、(本题满分10分)求级数 的和。
11、(本题满分12分)求球面 在点 处的切平面方程。
12、(本题满分12分)设 ,求 。
13、(本题满分12分)求 ,其中 是由 , ,
在第一象限内所围成的区域。
14、(本题满分12分)一质点沿曲线 从点(0,0,0)移动到点(0,1,1),求在此过程中,力 所作的功 。
15、(本题满分10分)判别级数   的敛散性。
16、(本题满分20分)
求一条过点 与一平面 平行,且与直线 相交的直线方程.   
17、(本题满分20分)
求椭球面 上的点 ,使直线 在过 点的切平面上.
18、(本题满分12分)计算二重积分 。
19、(本题满分12分)已知 ,确定的 ,求 。
20、(本题满分12分)设 是由方程  所确定的隐函数,求 、 .
21、(本题满分10分)计算二次积分  .
22、(本题满分10分)计算函数 的全微分.
23、(本题满分10分)计算二重积分   其中D:0≤x≤1,0≤y≤1 .
24、(本题满分10分)已知向量 ,求  和 .
25、(本题满分10分)求曲面 在点 处的切平面方程.

《高等数学(二)》期末复习题答案
一、选择题
1、A   解:利用平行向量对应的坐标成比例,设 ,又因

2、C   解:将 代入 得到 ,此时图形为圆。
3、D   解:用极坐标计算方便,

4、A   解:利用曲线积分的性质,则   
5、B  解:由莱布尼兹判别法可得到级数  收敛,但
发散 ,所以  是条件收敛。
6、D  解:二重积分定义式 中的 是分割细度,代表的是n个小闭区域直径中的最大值。
7、B  解:画出积分区域,确定每个变量的上下限,交换积分次序以后,得

8、A  解: 在三维空间里表示的是抛物面。     
9、B  解: 在点 可微一定能推出偏导数存在,所以是充分条件。
10、C 解:利用曲线积分的性质,则沿着下半圆周 的曲线积分
11、B  解:若级数 收敛,由收敛的性质A,C,D三个选项依然是收敛的,而 未必收敛,或者排除法选择B。  
12、C 解:二重积分 的值与函数有关,与积分区域有关,而与积分变量的字母表达没关系。     
13、B 解:利用平行向量对应的坐标成比例, 则x=2
14、B 解:将 代入 得到 代表的图形为双曲线。
15、B 解:对y求偏导时,x看作常数, ,则 =  
16、A  解:画出积分区域,确定每个变量的上下限,交换积分次序以后,得
  
17、C 解:利用级数收敛的定义可得  
18、D 解:利用曲线积分的性质,被积函数关于x是奇函数,由对称性,可得则曲线积分
19、A解:直线方程为  ,则原点坐标 满足方程,该直线必过原点,直线的方向向量为  ,x轴的方向向量为 ,又因为 ,所以直线过原点且 轴。                     
20、C 解:将直线方程写成参数式,代入平面方程求交点坐标,或者代入法验证也可。 代入 得 交点坐标为(1,2,2)
21、A  解:熟悉二元函数的概念之间的联系,偏导数连续 可微 连续;或者
偏导数连续 可微 偏导数存在
22、B  解:  绝对收敛。
23、B  解:对y求偏导时,x看作常数,   ,代入点的坐标
24、C 解: 级数 绝对收敛。  
25、B 解: 级数 条件收敛
26、C 解:交换积分次序后计算简单

二、填空题
1、  2  解:第一步分母有理化,第二步分母利用平方差公式,第三步分子分母约去公因子,第四步利用连续性求解极限。
2、  解:对x求偏导时,y看作常数,
         
3、  解:用极坐标求解简单
      
4、 0    解: 两个向量垂直,则点积为0  
5、   解:画出积分域,再确定积分限
   
6、   解:
7、     解:第一步分子有理化,第二步分子利用平方差公式,第三步分子分母约去公因子,第四步利用连续性求解极限。


8、  解:对y求偏导时,x看作常数,
   
9、  解:画出积分域,再确定积分限
   
10、 0  解:利用曲线积分的性质,奇函数在对称区域上的积分为0

11、 -1 解: 收敛
12、   解:设     
13、   解:第一步分子有理化,第二步分子利用平方差公式,第三步分子分母约去公因子,第四步利用连续性求解极限。


14、  3  解: 两个向量垂直,则点积为0
15、   解:考查全微分的概念,先求两个偏导,求全微分,再代入定点
又因为
  
16、  解:画出积分域,再确定积分限
  
17、   解:   
18、 0  解:利用曲线积分的性质,奇函数在对称区域上的积分为0,则
19、   解:本题用到了连续函数的性质,等价无穷小的替代,
  
  
20、  解:本题用到向量积的求解方法
, 则         
21、    解:
22、   解: ,又 ,
23、   解: 为连接 与 两点的直线段,此线段的方程是 ,此线段的长度是 ,
24、  2   解:第一步分母有理化,第二步分母利用平方差公式,第三步分子分母约去公因子,第四步利用连续性求解极限。

  
25、 解:利用向量积的模的求解方法  
26、 解:利用向量积的模的几何意义,三角形的面积
  
27、    解:利用两点间的距离公式
  
28、  3  解:利用点积公式
29、   解:第一步分子有理化,第二步分子利用平方差公式,第三步分子分母约去公因子,第四步利用连续性求解极限。


30、    解:对x求偏导时,y看作常数,求完偏导以后代入已知点的坐标
代入点的坐标  
三、解答题
1、(本题满分12分)
解:设              
则    ,   ,         
对应的切平面法向量      
代入(1,2,0)可得法向量:(4,2,0)         
则切平面方程:     
或            
2、(本题满分12分)
解 :   
      
     
   
               
3、(本题满分12分)
解:因为  ,   ,  
                  
所以     
4、(本题满分12分)
解:   
同理                                    
所以函数在(0,0)点两个偏导数存在。               
               
不存在                              
因此函数在(0,0)点不连续                     
5、(本题满分10分)
解:  ,            
而     是收敛的等比级数                        
原级数收敛                                                      
6、(本题满分12分)
解:设               
则    ,   ,            
对应的法向量        
代入 可得法向量:(2,4,6)              
则法线方程:               
7、(本题满分12分)
解:               
                        
                             
8、(本题满分12分)
                          
                        
                     
                           
                                    
9、(本题满分12分)
,                        
                                                         
   
      
10、(本题满分10分)
解:               
           
     
                          
        
所以级数 的和为1

11、(本题满分12分)
解:设               
则    ,   ,            
对应的切平面法向量        
代入 可得法向量:(2,4,6)              
则切平面方程:     
或        
12、(本题满分12分)
解:因为      
所以      
13、(本题满分12分)
解:令 ,则 ,
所以                              
14、(本题满分12分)
                        
            
                       
                           
                                          
15、(本题满分10分)
解: 设      
于是      
故 发散。
16、(本题满分20分)
解:直线 的参数方程为      
所求直线的方向向量为 与平面 的法向量 垂直,即
得      

所求直线为         
17、(本题满分20分)
解:设点 为所求的点,则椭球面在 点处的法向量 ,
切平面的方程为
直线 的方向向量 ,由已知条件得 ,即

而直线 上的点 必在切平面上,因此 ,
而点 在椭球面 上,即         
解得  和  ,即点 为  或  .  
18、(本题满分12分)
解:记 为积分区域在第一象限的部分,则由奇偶对称性,
=  
19、(本题满分12分)
设 ,则有

  

20、(本题满分12分)
解:等式两端求微分得:
   
于是  
所以 ,   
21、(本题满分10分)解:交换积分次序可得      
22、(本题满分10分)
解: ,              
         
23、(本题满分10分)
解: 原式=                           
24、(本题满分10分)
解:                    
        
                                 
25、(本题满分10分)
解:对应的切平面法向量      
设                     
则    ,   ,      
代入(1,2,3)可得法向量:(9,4,2)         
则切平面方程:     
或            

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