奥鹏作业答案 发表于 2021-3-19 11:54:53

西交《线性代数》拓展资源(八)

西交《线性代数》拓展资源(八)
化二次型为标准形方法之——雅可比方法
一、相关定义
双线性函数定义
V是数域P上一个线性空间,f(α,β)是V上一个二元函数,即对V中任意两个向量α、β,根据f都唯一
地对应于P中一个数f(α,β)。如果f(α,β)有下列性质:
f(α,+)=

其中是V中任意向量,是P中任意数,则称f(α,β)为V上的一个双线性函数。
例如:欧式空间V的内积是V上双线性函数。
对成双线性函数的定义
f(α,β) 线性空间V上的一个双线性函数,如果对V中任意两个向量α,β都有f(α,β)=f(β,α),则称f(α,β)为对称双线性函数。
度量矩阵定义
设f(α,β)是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数。是V的一组基,则矩阵叫做f(α,β)在下的度量矩阵。
结论:双线性函数是对称的,当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。
二、化二次型为标准型的雅可比方法
设V是数域P上一个n维线性空间,取定V的一组基,令α=,β=,
x=,y=,那么给定一个F上的n元二次型(其中A是n阶对称矩阵),则由A可以定义一个V上对称双线性函数f(α,β)= ,其中。反之亦然。在固定的基下,二次型和对称双线性函数f(α,β)=是互相唯一确定的(都是由A确定的)。
这种方法的中心问题是:对在V的基下游二次型确定的对称双线性函数
f(α,β)=,满足条件
=0,对ij(i,j=1,2,…,n)
我们知道,设{}是V的另一组基,而B==是f(α,β)关于这个基的矩阵,又
设C=是由基到基的过渡矩阵,即
=,i=1,…,n
那么      B=,               (1)
即一个双线性函数关于V的两个基的两个矩阵式合同的。
由于任一对称矩阵必能合同于对角矩阵。设可逆矩阵C使成对角阵,
B=,         (2)
再设C是基到基的过渡矩阵,由(1)式知,f(α,β)关于基的矩阵是对角矩阵(2)式,即
=0,对ij(i,j=1,2,…,n)
这表明,对于每一个对称双线性函数f(α,β),都存在一个适当的基,使它可以写成如下形式
f(α,β)==,
其中,从而它所确定的二次型可以写成标准形
=
且二次型化为所作的非退化线性替换为x=Cz,其中C是由基到基的过渡矩阵,它使=B。
于是,化二次型为标准形的问题就可以归结为上述关于对称双线性函数的“中心问题”,为此,需要寻找满足条件(2)得V的一个基。
在中,从一个基出发,利用施密特正交化方法,可以构造一个与之等价的正交基。该方法的实质就是设

然后用待定系数法求使得=0(其中 ij,i,j=1,2,…,n)的系数。
为此我们先解决下问题:
1)设V是数域P上一个n维线性空间,f(α,β)=使V上对称双线性函数,其中是V的一组基,α=,β=,
x=,y=,
A是n阶对称矩阵,那么从基{}出发,是否能构造如下形式的基:

使得          =0,对ij(i,j=1,2,…,n)
解:将代入得
=
=,
所以,若对任意的i及j<i有=0,则对j<i,也有
=0,
又因双线性函数f(α,β)是对称的,则对j>i,有
==0,
即是所求的基。于是,问题归结为求待定系数使向量                  (3)
满足条件          ==0,j=1,2,…,i-1            (4)
显然,若满足=0,则的数量倍也满足
=0,
故为了确定,我们再要求满足条件
==1。                   (5)
这样,可以利用条件(4)(5)唯一确定了,将(3)式代入(4)和(5),得到关于的线性方程组
          (6)
这方程组的系数行列式为
。
因此,当0时,方程组(6)由唯一解,从而可求得向量。于是,当A==的顺
序主子式=,=,=
都不等于0时,可以由方程组(6)求出向量,i=1,2,…,n
2)由1)可知,在0,i=1,2,…,n的情形下,由方程组(6)可求出上三角矩阵
C==,
从而由(3)式求得,i=1,2,…,n,它们满足
==0,对ij,i,j=1,2,…,n
使得双线性函数f(α,β)关于基的矩阵为
B==,
是对角矩阵,由此可见,二次型可经非退化线性替换x=Cz,化成标准形
=
其中x=,z=.
下面计算=i=1,2,…,n,由(3)(4)(5)可得
 ==
==
再由克拉默法则,由方程组(6)可解得
=(其中令=1)。
因此,=,i=1,2,…,n
综上所述,我们可得以下结论:
设二次型(其中=)中,顺序主子式,,…, 都不等于零,则该二次型必可化为下面的标准形:

其中=1。这个化二次型为标准形的方法称为雅可比方法。
三、典型例题:
用雅可比方法化二次型为标准型,并写出非退化的线性替换。
=
解:由于矩阵A=,它的顺序主子式=2,=,=都不等于零,故可用雅可
比方法。
设,,,双线性函数f(α,β)关于基,,的矩阵为A,则
A==
设
系数可由条件=1求出,即=2=1
故=,故有=系数可由方程组求出,
得,故=
系数可由方程组求出,得,故
由此可得,由基,,到的过渡矩阵为C=
因此经线性替换X=CZ化成标准型=
四、雅可比方法在判定二次型的正定性问题上的应用
1)实二次型=是正定的充要条件是:矩阵A的顺序主子式,,…, 全大于零;
2)实二次型=是负定的充要条件是:
本内容由易百网整理发布
网址 www.openhelp100.com
QQ 515224986
页: [1]
查看完整版本: 西交《线性代数》拓展资源(八)