沙鸥老师 发表于 2021-3-19 11:46:35

西交《线性代数》faq(八)

西交《线性代数》FAQ(八)
实二次型
一、用满秩线性变换将二次型化为标准形时,标准形是否唯一?
答:将一个实二次型化为标准形的方法不是唯一的(如有正交变换法、配方法),采用不同方法所化成的标准形就可能不相同,即使采用同一方法,由于变换的方式不同,所得到的标准形也可能不相同
例如
令,得
令,得
二、对于二次型假设把任意代入二次齐次式都使,是否是正定的?
答:不一定。例如

对任意有,但对有
,不符合正定定义。
三、已知均为阶正定矩阵,是否也是正定矩阵?为什么?
答:是正定矩阵,及都不一定是正定矩阵。
因为,即是实对称矩阵,且对任意,有
,故是正定矩阵。
又,即也是实对称矩阵,但对任意,有
,两个整数相减,不一定是正的,故不一定是正定矩阵。
因为,且不一定成立,所以不一定是实对称矩阵,从而不一定是正定矩阵。
四、若实二次型的规范形为,则该二次型的矩阵的特征值是否必为0和1?
答:不是。这说明该二次型的正惯性指数为1,亦即有一个正特征值,但具体数值无法确定,它可能是任意正实数,例如,则f得规范形为,但其特征值为0和2.
五、任意两个n阶的正定矩阵是否合同?
答:合同。因为这两个n阶正定矩阵的正惯性指数都是n,而负惯性指数都是0,所以它们必须合同。
六、若A为正定矩阵,问A和A-1是否一定相似?是否一定合同?
答:由于实对称矩阵A为正定的充分必要条件是特征值全为正数。而A-1的特征值是A的特征值的倒数,两者不一定相等,所以A和A-1不一定相似。另一方面,A-1的特征值必定也是正数,A-1也是正定矩阵,所以A和A-1一定合同。
七、典型例题
例1 设二次型
            
写出此二次型对应的矩阵;写出此二次型的矩阵表达式。
解显然,, , , , , .
于是得.
例2   化二次型为标准形,并求出所用的满秩线性变换。
解:令,即,则

               
               
其中,即

故所求满秩线性变换为

因此即为所求。
例3用配方法化二次型
            
为标准形,并写出所作的可逆线性变换.
    解 因为标准形是平方和的形式,所以需要用配方法把变量:逐个地配成完全平方和的形式.
       
               
               
               
               .
令                                                                                            ①
则 .由①得所作的线性变换是:
.
因为 ,所以所作的线性变换是可逆的.
    注 若二次型含有某变量的平方,先集中含此变量的乘积项,然后配方;再对剩下的个变量同样进行,依此类推下去化成平方项后,再经过非退化(或称可逆)线性变换就得到标准形.
    例4用配方法化二次型
            
为标准形,并写出所作的可逆线性变换.
    解 此二次型中没有平方项,为了能够进行配方首先要变成有平方项,为此,可作变换
                                                                                  ①

      
                
                
                .

                                             ②
    为了写出所作的线性变换,先从②反解出,得
                                             ②′
    把②′代入①,得
                                                ③
    把③代入原题,得 .
③就是所作的线性变换,因为
                
所以线性变换③是可逆的.
例5用正交变换将实二次型化为标准形,并且写出所作的正交变换:
          .
    解的矩阵是
                     .
矩阵的特征多项式为
       ,
所以,的特征值是(二重)与.
    对于,解齐次线性方程组
             ,
求得它的一个基础解系为
            ,   .
先正交化:
      ,
      .
再单位化:
      ,   .
    对于,解齐次线性方程组
            ,
求得它的一个基础解系为.
再单位化得:.
令 ,则是正交矩阵,而且.
于是令,即
            .
得 .
例6   判断下列二次型的正定性:
(1)
(2)
解:(1)由于的表达式中只含有二次项,所以对于任意一个非零向量总有
。根据定义可得为正定二次型。
(2)对,先写出二次型的矩阵,再求的特征值。由得正定性退出的
正定性。二次型f的矩阵为


令,得的特征值为
的特征值均为正正定二次型正定。
例7用不同的方法判别
                  
是否正定.
    解法1:惯性指数法
    为下列二次型的矩阵
          
                  
                  .

                   .
则得标准形
         .
由上述线性方程组可得,由到的线性替换为
                  .
    显然它是可逆线性替换.于是由标准形可知,,为正定二次型,其矩阵正定.
    解法2:顺序主子式法
的各阶顺序主子式为
      ,   ,   
所以正定.
    解法3:特征值法
    的特征多项式
             .
特征值,均为正数,所以正定.
    注:判断二次型是否正定,要灵活应用所学的方法,当有可能用顺序主子式时,可采用它,此法一般比较简单.当二次型的矩阵的特征值容易求时,这时用此法较好.还可用配方法将二次型化为标准形来判定.
例8   设二次型,问取何值时,为正定二次型?
    解用顺序主子式讨论.
因为
         ,

         ,            ,
         .
解不等式组
          ,
得 .
例9   设为阶实对称矩阵,且,证明:为正定矩阵
证:设是的特征值,只要证明即可。因为是的特征值,所以

为其对应的特征向量。
由题设,两边乘以,有

因为,所以即,由此可知为
的特征值,且全大于零,所以为正定矩阵。
例10设是阶正定阵,是阶单位阵,证明:的行列式大于1.
证设的特征值为,则的特征值为.
因是正定阵,所以,所以的特征值,于是
   .
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