西交《高等数学（下）》拓展资源（三）
西交《高等数学（下）》拓展资源（三）第十章微分方程
戈珀茨(Gompertz)函数
戈珀茨函数所描绘的曲线称为戈珀茨曲线。经济学中的许多经济现象也具有戈珀茨函数的性质。例如在经济预测中，经济发展的三个阶段：初始期，发展期和饱和期可用戈珀茨曲线来描述（如图1-3所示）。
戈珀茨函数是微分方程组
， （1-8）
的解
， （1-9）
戈珀茨函数有以几个特点：
(1)、极限理论知，当时，与是等价无穷小，此时（1-9）式近似为
。 （1-10）
（1-10）式说明，经济增长的早期是按指数增长的。
(2)、由于，所以，（1-10）式说明，当增长到一定阶段，经济总量的大小趋于稳定，它稳定值在为的大小。
(3)、可以求出，点为戈珀茨曲线的拐点，也就是从时刻开始，经济增长的速度的变化由递增转为递减。
例1 求微分方程的通解。
解析 将所给方程改写成如下形式
?可知它是变量可分离方程分离变量，得
.
?积分后得
，
?即?????????????????????????????????
?或?????????????????????????????????
?于是得所求通解为
(C是任意常数).
※注意 当积分后出现对数函数时一般可将任意常数取为或的常数倍的形式，以便利用
对数运算性质化简结果.本例中将任意常数取为，才能得到上面较为简洁的通解结果.
求微分方程满足初值条件的特解. 解析 将所给方程分离变量，得
??两端同时积分，得
?? 即得所给方程的通解为
.
?? 将初值条件：代入，得，因此所求特解为
本内容由易百网整理发布
网址 www.openhelp100.com
联系方式QQ 515224986
页:
[1]