网院作业 发表于 2021-3-16 18:13:30

西交《高等数学(下)》拓展资源(一)

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第八章多元函数微分学及其应用
例题1? 求下列函数的定义域,并画出定义域的图形。

    
解析? 函数 z 是两个函数的和,其定义域是这两个函数定义域的公共部分,即由
??? ? ,得 ,即.由得
????? 于是,函数的定义域为 
例题2? 设 求 
    
解析? 
例题3? 设  求 
解析? 令  由此解出

?????? 代入上式,得

???????? 
???????? 
???????再将  分别换为  得

例题4? 讨论下列函数的连续范围:
    (1) 
    (2) 
    
解析? (1)此函数为二元初等函数,因此它的定义区域就是它的连续范围,所以该函数的连续范围
      是,即。
?????????? 此不等式表示的区域是圆 的外部。
??????(2)此函数的连续范围是除去 的点集,即在 平面上,除去 x
?????????? 轴,y 轴及抛物 的所有点,函数都是连续的。
例题5? 求下列函数的一阶偏导数:
???????(1)   (2) 在点( 2 , 2 , 1 )处的偏导数。
解析? (1) ??? 
?? ?? (2)对 求偏导数,将 看作常数,按幂函数求导,得

?????????? 对 求偏导数,将 x,z 看作常数先按指数函数求导,对 按幂函数对 求导得

?????? ??? 对z 求偏导数,将 看作常数先按指数函数求导,对 按指数函数对 z 的求导得

????? ???? 在点(2,2,1)处的偏导数,即将(2,2,1)代入上述三个偏导函数,得

※注 ?求初等函数在某点的偏导数,一般是先求出偏导函数,然后再将该点的坐标值代入。也可以先将函数中的其余变量用该点的相应坐标值代入后,再对指定的那个自变量导会更方便些。
例题6? 求 的二阶偏导数。
解析? 
????? 
※注? 求多元函数的二阶偏导数,是将已求出的一阶偏导函数,作为新的函数,继续对自变量求偏导数,即得到二阶偏导数。
例题7? 设 求 。
解析? 此题可用下述两种方法:
解法 1? 用全微分公式 求全微分,其中

????????于是 
解法 2? 用微分形式不变性求全微分:

??????? 由上式,显然又可得到两个偏导数,即

例题8 设 确定 z 为 , 的隐函数,求 。
    
解析? 此题可用下述两种方法:
解法 1? 用公式法,令 , F 看作 的三元函数,则有

??????? 于是

注意? 用公式法求隐函数的偏导数时,将 看成是三个自变量 的函数,
??????即 处于同等地位。
解法 2 ?将方程中的 z 看作是由此方程确定的 隐函数,从而
??? (*)
??????? 为一恒等式。将其两端分别对 x 求偏导数,得
。
??????? 解得

??????? 将(*)两端对 y 的偏导数,得

??????? 解得

注意? 在用第 2 种方法将方程两端对 x , y 求偏导数时,要将 z 看成x,y的函数,请读者对该题的两种解法都要搞清楚。
例题9 求函数 的极值。
    
解析? 第一步,由极值存在的必要条件,求出所有的驻点。由

???????解方程组,得驻点为

???????第二步,由二元函数极值存在的充分条件,判断这两个驻点是否为极值点。
。
???????在点(0,0)处, ,所以点(0,0)是极?大值点。极大值为 。
?????? 在点(2,2)处, 所以点(2,2)不是极值 ?点
注意? 函数的驻点不一定是极值点。例 14 中的(2,2)点是驻点,但不是极值点;有的函数的偏导数不存在的点处也可能取得极值。因此,极值点也不一定是驻点。还要检查偏导数不存在的点是否为极值点。
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